消える円
概要
初めてのブログなので自己紹介、それから三角形と円に関する小さな話を書きます。図形（高校数学では数学A）の話です。
見えない何かが見える楽しさ
はじめまして。さんかく色といいます。
数学が好きで、学校を卒業した後も、仕事に就いた後も、子供が生まれた後も、
何か気づいたことがあれば、数学しています。
最近はパデ近似の勉強をしていまして、数の無理数性や超越数などに興味があります。でもこのブログでは、あまり専門的なことよりも、手近な数学の話を書こうと考えています。
さて、私の息子が小さいころ積み木遊びをしているとき、「パパ そこの さんかく色の積み木とって」と言われたことがあります。彼には「青い三角柱の積み木」が「さんかく色の積み木」に見えたんですね。無邪気な表現に感激したのを覚えています。
数学も、普段とはちょっと違う見方をするだけで、おもしろい発見がたくさんできます。このブログでは、そうした自分が見つけた「小さな再発見」（それはもちろん過去に、世界のだれかが、すでに発見したことです）を書き留めていきたいと思います。
自己紹介で終わるのもつまらないので、さんかくに関する話をひとつ。
消える円
サム・ロイド*1が考案した「消える妖精」（とか「消えるインディアン」）というパズルがあります。
紙をずらすと妖精が一人消えてしまうパズルです。
今日はそれの図形版、その名も「消える円」をやってみましょう。（ネーミングセンス０）
まず、〈平面上に一直線上にない3点が与えられれば、その3点を通る円はひとつ決まる〉ことを確認しておきましょう。そのことを踏まえて、次の問題を考えてみてください。
問題A
上の三角形ABCは鋭角三角形です。点D、Eはそれぞれ辺BC、CA上の点であり、直線AD、BEの交点をFとします。ただし、∠ADC、∠BECは直角ではありません。
6個の点A～Fの中から3点を選んで、その3点を通る円を描くとき、円はいくつ描けますか？
…これは図形の問題に見せかけて、ほとんど組合せの問題です。
解いてみましょう。異なる6点から3点を選ぶ組合せは6C3＝20通り。
でも、この中には3点が一直線上に並んでしまう3点の組(A,F,D)、(B,F,E)、(A,E,C)、(B,D,C)の4通りが含まれますので、それを除いて、円の個数は20－4＝16個。
ちなみにその16個の円はこちら！
では、次の問題はどうですか？
…？ 答えはさっきと同じ16個でしょ？
いいえ。描ける円は10個です。
6個の円はどこに消えた！？
問題Aと問題B、見た目はそっくりなのに答えが違うのは、問題Bを解くためには更なる図形の知識が必要だからです。それは「円周角の定理の逆」と（その系の）「四角形が円に内接する条件」です。
円周角の定理の逆４点A，B，P，Qについて、点P，Qが直線ABに関して同じ側にあって∠APB=∠AQBを満たすならば、4点A，B，P，Qは同一円周上にある。
四角形が円に内接する条件次の(1)、(2)の一方が成り立つ四角形は円に内接する。つまり、四角形の4つの頂点は円に内接する。
(1) 1組の対角の和が180°
(2) 1つの内角がその対角の外角に等しい。
(1) 1組の対角の和が180°
(2) 1つの内角がその対角の外角に等しい。
この定理を知っていると、4点A，E，D，Bは「円周角の定理の逆」の仮定を、4点C，E，F，D（を結んでできる四角形）は「四角形が円に内接する条件」の仮定をそれぞれ満たすことがわかります。つまりこれら4点は同一円周上に乗ることが分かるのです。
ところで、一般に、4点X，Y，Z，Wが同一円周上に乗ると、これら4点のうちから3点を選んで、その3点を通る円を描くと、それらはすべて一致します。実際、例えば、X，Y，Zを通る円を描くと、その円周上にはWが乗ってしまう。Y，Z，Wを通る円を描くと、その円周上にはXが乗ってしまう…、のように。
以上を踏まえて解答してみましょう。
異なる4点C，E，F，Dから3点選ぶ選び方は4C3=4通りですが、実際は4点C，E，F，Dを通る円は１個しかないので、これは3個分数えすぎ。4点A，E，D，Bに対しても同じことが言えるので、この問題の答えは16－(3+3)=10個となるのです。
その10個の円がこちら！
赤い円が、4点が同一円周上に乗る円です。このように、複数の点が同一円周上に乗る状態の事を共円と言ったりします。
さて、結局円の消滅トリックは図形の定理がカギでした。同一円周上にない3点の組合せは同じなのに、そこに角度（直角）の情報が加わったとたんに、組合せの計算だけでは解けなくなってしまう。こういう、ちょっと別の立場から問題を眺める視点が必要な問題、素敵だなぁと思います。
３垂線は１点で交わる
せっかくなので、最後におまけ。
問題Bの三角形は、2つの頂点A、Bからそれぞれ対辺に垂線を下ろし、その2本の垂線の交点をFとしていました。
ここで、こんな問題が考えられます。
頂点Cから対辺に垂線を下ろすと、その垂線は点Fを通りますか。別の言い方をすれば直線CFは対辺と垂直に交わりますか。
この疑問に対する答えはYESです。次のような定理が知られています*2。
三角形における垂心の存在三角形の3つの頂点から対辺に引いた3本の垂線は1点で交わる。この1点のことを三角形の垂心という。
この定理を、問題Bで出てきた2つの赤い円を用いて証明してみましょう。
設定は問題Bと同じとします。
円周角の定理より ∠EFC＝∠EDC …①
円に内接する四角形の性質より ∠BAE＝∠EDC …②
①、②より ∠EFC＝∠BAE これより四角形AGFEは円に内接する。
∠AEF＝90°より、∠AGF＝90°
よって CG⊥AB
以上より、三角形の３つの垂線は一点で交わる。 （証明終）
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図形問題の面白さ。それは見えないものを見抜く面白さなんですね。
ということで、ここまでお読みいただいてありがとうございます。
初めての記事、めちゃくちゃ時間がかかりました笑。ブログ初心者なので、至らない点も多かったと思いますが、これから精進していきます。よろしくお願いします！
